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n≧3とする．1,2,…,nのうちから重複を許して6個の数字をえらびそれらを並べた順列を考える．このような順列のうちで，どの数字もそれ以外の5つの数字のどれかに等しくなっているようなものの個数を求めよ． 同じ数字の個数で分類する． (i)6個が全て同じ数字のとき 数字の選び方がn通りあり，並べ方は1通りなのでn個 (ii)4個が全て同じ数字で，残り2個が(4個とは異なる)同じ数字のとき 数字の選び方はn(n-1)通りあり，並べ方は通りなので15n(n-1)個． (iii)3個が全て同じ数字で，残り3個が(前の3個とは異なる)同じ数字のとき 数字の選び方は通りあり，並べ方は通りなので10n(n-1)個． (iv)3組の相異なる同じ数字の組となるとき 数字の選び方は通りあり，並べ方は通りなので15n(n-1)(n-2)個． (i)-(iv)を足して個．
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自然数nに対して， ， とおく． (1)が成り立つことを示し，を求めよ． (2)を求めよ． (1) 0≦x≦1でであるから，． ()であり， 0≦x≦1でであるから，． はさみうちの原理より． (2) これより，．
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次のようなゲームがある． ①最初の持ち点は2である． ②サイコロをふって，奇数の目がでれば持ち点が1点増し，偶数の目が出れば持ち点が1点減る．このような操作を5回する．ただし途中で持ち点が0になったら，その時点でゲームは終了する． このゲームについて，5回サイコロををふることができる確率，およびゲームが終わった時の持ち点の期待値を求めよ． 途中で持ち点が0になる確率をpとすると，途中で持ち点が4になる確率もpである． 途中で持ち点が0にも4にもならないのは持ち点が2→1or3→2→1or3→2→1or3となる場合であるが， この確率は2回目と4回目にそれぞれ1回目と2回目に出た目と偶奇が異なる目が出る確率でありに等しい． 以上よりなので．求める確率は． また，サイコロ一回振る場合及び何もしない場合の点数の増減の期待値は0なので，求める持ち点の期待値は2+0+0+0+0+0=2．
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半径rの球面上に4点A,B,C,Dがある．四面体ABCDの各辺の長さは， AB=, AC=AD=BC=BD=CD=2 を満たしている．このときrの値を求めよ． AB，CDの中点をE,Fとする．△ACD,△BCDは一辺2の正三角形なのでAF=BF=． △ABFは一辺の正三角形なのでEF=． 球の中心OはABとCDの二等分面の交線EF上にあり，AE⊥EF⊥CFなので，OF=xとおくと これよりなので
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空間内の点Oを中心とする一辺の長さがlの立方体の頂点をとする．また，Oを中心とする半径rの球面をSとする． (1) S上のすべての点からのうち少なくとも1点が見えるための必要十分条件をlとrで表せ． (2) S上のすべての点からのうち少なくとも2点が見えるための必要十分条件をlとrで表せ． ただし，S上の点Pからが見えるとは，がSの外側にあり，線分とSとの共有点がPのみであることとする． S上の点Xからが見える⇔点XにおけるSの接平面Pを考えたとき，はP上にあるか，Pに関してOと逆側にある． (1) Oを通り立方体のある面に垂直な直線とSの交点をBとおく． Bから頂点の一つが見えるためにはが必要． 逆にこのとき，このような点以外の点XにおけるSの接平面Pを考えた時， Pは立方体の面と交わるのでPに関して逆側にある2頂点が存在するから， その頂点のどちらかはXから見える． (2) 立方体の対角線とSの交点をCとおく． Cから頂点2つが見えるためにはが必要． 逆にこの時，(1)よりS上の点Xから一つ頂点が見える． この見える頂点を除いた7頂点から4点を正四面体となるように選ぶことができる． Sはこの正四面体の内部にあるが，XにおけるSの接平面Pを考えた時， Pは正四面体の面と交わるのでPに関して逆側にある2頂点が存在するから， その頂点のどちらかもXから見える．
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nは自然数とする． (1)すべての実数θに対し ,, をみたし，係数がともにすべて整数であるn次式とn-1次式が存在することを示せ． (2)であることを示せ． (3)pを3以上の素数とするとき，のp-1次以下の係数はすべてpで割り切れることを示せ． (1) ド・モアブルの定理より …(*)． 各項はすべてcosθの整数係数n次式であり，各項のn次の係数は全て正なので総和もcosθの整数係数n次式． 従ってをみたし，係数がともにすべて整数であるn次式が存在する． また， であり，総和の各項はすべてcosθの整数係数n-1次式であり，cosθの最高次の係数は全て正なので総和もcosθの整数係数n-1次式． 従って,をみたし，係数がともにすべて整数であるn-1次式が存在する． (2) をθで微分して である． 0 θ πのときsinθ 0なので． これより-1 x 1でであるが，-1 x 1にはn+1個以上の相異なる点があるのでこれが成り立つのは全領域でのとき． (3) (*)よりとなるが， pは3以上の素数なので奇数となるから，のときはpの倍数となる．これよりのp-1次以下の係数は全てpで割り切れる．
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f,gをそれぞれ行列,の表す1次変換とする．以下では一般に1次変換a,bの合成を簡単にbaと記す．また，aaを，aaaをと書く． (1)を示せ．ただし，iは恒等変換，すなわち任意の点をそれ自身に移す変換である． (2)変換f,gf,fgf,gfgf,fgfgfは，変換g,fg,gfg,fgfg,gfgfgをある順序に並べ替えたものである．後者の5つの変換はそれぞれ前者の5つのどれと等しいか． (3)3点,,を頂点とする三角形をΔとする．Δをf,gで繰り返し変換して得られるすべての三角形の和集合を図示せよ． (1) 所与の行列をそれぞれA,Bとする． (E 単位行列)を示せばよく， ケイリーハミルトンの定理より，である(O 零行列)． また，であるからケイリーハミルトンの定理より． これに左からBA-Eを掛けて． 以上よりであるから示された． (2) g=ggfgfgf=fgfgf． これにfを作用させてfg=ffgfgf=gfgf, これにgを作用させてgfg=ggfgf=fgf, これにfを作用させてfgfg=ffgf=gf, これにgを作用させてgfgfg=ggf=f. (3) Δをf,gで繰り返し変換して得られる三角形は，より，Δにfとgを交互に作用させたものとして表せる． ここで，(2)よりg=fgfgfであることから，すべてのこのような三角形はまず最初にΔをfで変換したものとして表せる． 従って，f,gf,fgf,gfgf,fgfgf,gfgfgf,fgfgfgf,…で変換したものであるが，よりfgfgfgf=fなのでこれ以降は新しい三角形は得られない． つまり，求める和集合はΔをf,gf,fgf,gfgf,fgfgf,gfgfgfで変換して得られる三角形の和集合． この変換により，は不変， は,,,,,， は,,,,,， に移るので，求める和集合は以下のとおり． (図省略．|x|≦1かつ|y|≦1かつ|x+y|≦1の領域．)
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rは0 r 1を満たす実数とする．xyz空間に原点O(0,0,0)と2点A(1,0,0),B(0,1,0)をとる． (1) xyz空間の点Pで条件 を満たすようなものが存在するようなrの範囲を求めよ． (2) 点Pが(1)の条件を満たして動くとき，内積の最大値，最小値をrの関数と考えてそれぞれM(r),m(r)で表す．このとき，左からの極限 を求めよ． (1) よりPはx=y上の点． より であるから，Pはを直径の両端とする球上の点． この球と平面x=yが共有点を持つ条件を求めればよい． 球の半径は． 球の中心は であるから，中心と平面x=yとの距離は． これが半径以下ならばよいので求める条件は0 r 1とあわせて． (2) であるから， ． 点Pはx=y上の円上にある． この円の半径は，中心はであるから， の最大最小値は． これより .
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Nを正の整数とする．Nの正の約数nに対し とおく．このとき，次の各Nに対してf(n)の最小値を求めよ． (1) , ただしkは正の整数 (2) N=7! とおく． ≧m m のとき， であるから，mが大きいほどf(n)は小さくなる． (1) (i) kが偶数のとき のとき最小値をとる． (i) kが奇数のとき のとき最小値をとる． (2) なので，m=70のとき最小値142をとる．
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次の6つの条件をみたすx,y,zのうちzを最小にするx,y,zの値を求めよ． a 2, , x 1, 1 z 2, xz≧ a, yz≧2 xz≧aより. yz≧2より. それぞれ足してなので等号成立のときzは最小． 等号成立条件はxz=aかつyz=2． このとき，，，． x,y,zが以上の値を取るとき，確かに元の6つの条件を満たす(証明略)．